domingo, 20 de febrero de 2022

Derivadas parciales


DERIVADAS PARCIALES


Las derivadas parciales de una función con varias variables f(x , y, z) (tres en este caso) nos informa de cómo cambia la función (df) cuando se produce un pequeño cambio en una única variable independiente (por ejemplo dx en la variable x).

Como ahora no estamos ante una función y = f(x) que varía, cuando cambia la única variable independiente x de esa función, sino que hay varias variables, para subrayar que se trata de cambios en la función multivariable utilizaremos el símbolo  ∂   para distinguirlo del símbolo d, que es el que indica un pequeño cambio en el caso de las funciones ordinarias.  

Las derivadas parciales de una función multivariable las definiremos también mediante un límite, si   límite existiera, haciendo extensiva la definición de una derivada ordinaria.

  Las derivadas parciales de una función u = f(x , y, z) serían:


  • En el primer caso, la derivada parcial de la función respecto a x, se consideran las variables independientes y y z como unas constantes.                                                
  • En el segundo caso, respecto a y, se consideran las variables independientes x y z como unas constantes.                                                                        
  • En la imagen de arriba se ha puesto en azul la variable sobre la que se obtiene la derivada parcial.

Se procederá a derivar empleando las reglas de derivación conocidas en las derivadas ordinarias.




 

Derivación implícita con derivadas parciales.

 

Derivadas parciales permiten obtener en muchas ocasiones con más sencillez derivación implícita.
La derivación implícita, se obtiene el mismo resultado en derivación implícita mediante derivadas parciales, con la siguiente fórmula que facilita y simplifica el cálculo:


ejercicio 1



                      

Ejemplo 1

Sea f(x,y)=2x^6+y^2 - 8 una función definida en varias variables, calcule \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.

Para calcular esta derivada, debemos calcular primero la derivada de f respecto a la variable x:

\dfrac{\partial f}{\partial x} \; = \; \dfrac{\partial (2x^6+y^2 - 8)}{\partial x}

= \; \dfrac{\partial (2x^6)}{\partial x} + \dfrac{\partial (y^2)}{\partial x} - \dfrac{\partial (8)}{\partial x}

= \; 12x^5 + 0 - 0

= \; 12x^5

Calculamos entonces la derivada de la función \frac{\partial f}{\partial x}=2x^5 respecto a la variable x.

\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \; = \; \dfrac{\partial (12x^5)}{\partial x} \; = \; 60x^4

Supongamos que queremos calcular \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, entonces debemos calcular la derivada de la función \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x^5 respecto a la variable y:

\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \; = \; \dfrac{\partial (12x^5)}{\partial y} \; = \; 0


Cuando estamos aprendiendo a calcular derivadas parciales y más aún, de orden superior; es normal que uno se enrede con tantas variables. Con el diagrama que veremos a continuación se puede entender con un poco más de claridad que variables debemos considerar al derivar:

Diagrama Derivadas Parciales de Orden Superior | totumat.com

Otra notación que puede ser útil para aligerar la escritura de las derivadas parciales consiste en escribir la función y usar un subíndice sobre esta para indicar cual es la variable respecto a la cual estamos derivando de la siguiente forma:



Diagrama Derivadas Parciales de Orden Superior | totumat.com


videos














Referencias
 Formulashttps://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas-parciales/
https://totumat.com/tag/derivadas-de-ord










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jueves, 10 de febrero de 2022

Cálculo de áreas en coordenadas polares

 Cálculo de áreas en coordenadas polares

Muchas gráficas en coordenadas polares reciben nombres especiales.



Espiral

ESPIRAL










La característica de la espiral de Arquímedes es que entre dos espiras, la distancia es la misma, la expansión y la rotación tienen lugar a la misma velocidad, el vínculo entre ellas es lineal


Su ecuación expresada en coordenadas polares es .


Cardioide


Una cardioide  se genera por una circunferencia que rueda.

Se llama cardioide a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a(1+cos θ), por su semejanza con el dibujo de un corazón.

Limacones

 Las cardioides son casos especiales de curvas polares conocidas como limacones:

 

La forma de una limacón depende de las magnitudes de a y b. Supondremos que  a>0  y b>0. Para 0<a/b<1  obtenemos una limacón con un lazo interior como se ilustra en la FIGURA a). Cuando a=b o equivalentemente a/b=1 obtenemos una cardioide. Para 1<a/b<2 encontramos una limacón con un orificio como se muestra en la figura b). Para a/b≥2 la curva se llama limacón convexa.





Curva de las Rosas


Se le denomina curva de las rosas ya que las curvas se asemejan más al pétalo de una margarita.
Cabe mencionar que el número de pétalos o lazos de la curva es:
  • n cuando  n  es impar,
  • 2n cuando n es par.




EJEMPLO:

A continuación se muestra la gráfica de r = 3sen(2θ).
La gráfica de r = 3sen(2θ).

Cuando θ = 0 tenemos r = 3sen(2(0)) = 0. El siguiente valor para el cual r = 0 es θ = π/2. Esto se puede ver resolviendo la ecuación 3sen(2θ) = 0 para θ. Por lo tanto, los valores θ = 0 a θ = π/2 trazan el primer pétalo de la rosa. Para encontrar el área dentro de este pétalo, use la ecuación dada en el Teorema 8.4.1 con f (θ) = 3sen(2θ), α = 0 y β = π/2:

Para evaluar esta integral, use la fórmula sen2α = (1 − cos(2α))/2 con α = 2θ:






REFERENCIAS:
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miércoles, 2 de febrero de 2022

Longitud de una curva definida en forma paramétrica.

 

¿Qué es la longitud de arco?

Usualmente medimos la longitud con una línea recta, pero las curvas también tienen longitud. Un ejemplo familiar es la circunferencia de un círculo de radio rr, cuya longitud es 2πr2, pi, r. 
En general, le llamamos a la longitud de una curva "longitud de arco".
Echemos un vistazo a la parábola definida por la siguiente ecuación:
y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared
Considera la porción de la curva que está entre x, equals, minus, 2 y x, equals, 2.
Pregunta : ¿Cuál es la longitud de arco de esta curva?
Solo para que quede clara la pregunta, imagina que la curva es un pedazo de cuerda, y que la estiras y mides su longitud con una regla.

Longitud de una curva definida en forma paramétrica.

Si una curva suave C está dada por x=f(t) y y=g(t) y C no se corta a sí misma en el intervalo a \le t \le b (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por:

\displaystyle S = \int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt}
\displaystyle S = \int_{a}^{b}{\sqrt{{\left[f^{'}(t)\right]}^{2} + {\left[g^{'}(t)\right]}^{2}}dt}
Ejercicio

Problema 1. Hallar la longitud de arco mediante las ecuaciones paramétricas:

x = 6t^2 y y = 2t^3 para 1 \le t \le 4

Solución. Para poder utilizar la fórmula de la longitud de arco, primero se va derivando la ecuación paramétrica x con respecto a t, se tiene lo siguiente

x = 6t^2

\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (6t^2)

\displaystyle \frac{dx}{dt} = 12t

Se aplica el paso anterior para la ecuación paramétrica y

y = 2t^3

\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (2t^3)

\displaystyle \frac{dy}{dt} = 6t^2

Después, del intervalo 1 \le t \le 4, los límites inferior y superior de la integral proveniente de la fórmula de la longitud de arco son

a=1 y b=4

Con estos cuatro datos, se realiza la sustitución

\displaystyle S = \int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \ dt}

\displaystyle S = \int_{0}^{1}{\sqrt{\left(12t \right)^2 + \left(6t^2 \right)^2} \ dt}

\displaystyle S = \int_{1}^{4}{\sqrt{144t^2 + 36t^4} \ dt} = \int_{1}^{4}{\sqrt{36t^2(4 + t^2)} \ dt}

\displaystyle S = 6 \int_{1}^{4}{t\sqrt{4 + t^2} \ dt} = 6 \int_{1}^{4}{t\sqrt{t^2 + 4} \ dt}

Esta integral se resuelve por medio de la sustitución. Así que

\displaystyle u = t^2

\displaystyle \frac{du}{dt} = 2t

\displaystyle du = 2t \ dt

\displaystyle \frac{du}{2} = t \ dt

Aplicando la sustitución, se tiene que

\displaystyle S = 6 \int_{1}^{4}{t\sqrt{t^2 + 4} \ dt} = 6 \int_{1}^{4}{\sqrt{t^2 + 4} \ t \ dt}

\displaystyle S = 6 \int_{1}^{4}{\sqrt{u + 4} \ \frac{du}{2}}

\displaystyle S = \frac{6}{2} \int_{1}^{4}{\sqrt{u + 4} \ du} = 3 \int_{1}^{4}{\sqrt{u + 4} \ du}

\displaystyle S = 3 \cdot \left. \frac{2}{3} {(u+4)}^{3/2} \right]_{1}^{4} = \left. 2 {(t^2+4)}^{3/2} \right]_{1}^{4}

\displaystyle S = 2 \left[ {(4)^2+4}^{3/2} - {(1)^2+4}^{3/2} \right]

\displaystyle S = 2 \left[ {(16+4)}^{3/2} - {(1+4)}^{3/2} \right]

VIDEO




REFERENCIAS:

Longitud de arco en forma paramétrica. Cálculo vectorial. – Temas de cálculo (temasdecalculo.com)

Longitud de arco de una función, mediante integral definida (Ejemplo 1) - YouTube

📐 Longitud de Arco de una Curva en Forma Paramétrica | Video 1 - YouTube

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