Integrales dobles iteradas

Una integral iterada es una integral evaluada varias veces sobre la misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluadas con respecto a diferentes variables).
Las integrales dobles son una manera de integrar sobre una región bidimensional. Entre otras cosas, nos permiten calcular el volumen bajo una superficie.

Dada una función de dos variables, f(x, y), puedes encontrar el volumen entre la gráfica y una región rectangular del plano x y al tomar la integral de una integral esta es la función de y.

integral doble

El cálculo de una integral múltiple (en varias variables) se reduce a ir calculando integrales de una variable en el orden especificado.

El diferencial nos informa acerca del el cálculo de una integral múltiple (en varias variables) se reduce a ir calculando integrales de una variable en el orden especificado.

El diferencial nos informa acerca del nombre de la variable con respecto a la que debemos integrar y su posición indica el orden de integración, correspondiendo los diferenciales más interiores a las integrales que hay que calcular primero.

Ejemplo: 1

Calcular la integral doble ∫∫xy dxdy en el rectángulo R= [0,1]x[0,2].

En primer lugar escribimos la integral que nos piden, colocando en su lugar los límites respecto a los cuales tenemos que integrar:

Resolvemos la integral que está en el paréntesis, es decir, la integral respecto de x donde y es una constante:

Por último, el resultado anterior lo integramos respecto de y.

Encontrar el área de una región acotada
Ejemplo: 2

Observa un rectángulo, de largo 4 y ancho 2, en el plano x – y .
Podemos acotar este rectángulo usando las líneas x = 2, x = 6, y = 1 e y = 3.

Encontrar esta área usando una integral doble:
La integral interna:
La integral doble ahora se convierte en esto:

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