Máximos y mínimos de una función de dos variables

 Máximos y mínimos de una función de dos variables

Geométricamente: Los máximos y mínimos de una función de dos variables miden altitudes máximas y mínimas sobre la superficie que constituye la gráfica de la función (son como las cotas del punto más elevado de una colina ó del punto más profundo de una hondonada).

Los puntos críticos son aquellos en los que las derivadas parciales valen cero, o al menos una de ellas no existe.

 

Veamos un ejemplo. Tenemos que hallar los puntos críticos de la siguiente ecuación:

 

f(x,y)=xy−

 Por último, debemos resolver el sistema y hallar el (los) punto(s) crítico(s).

 

Resolviendo el sistema tenemos, a partir de la segunda ecuación:

 

x=2y

 

Sustituyendo en la primera, tenemos:

 

y=12y2

y = 0  y=1/12

El criterio de la matriz Hessiana establece que si P = (x, y) es un punto crítico y

· H_f(P) > 0 y f_xx(P) > 0 ⇒ P es un mínimo relativo
· H_f(P) > 0 y f_xx(P) < 0 ⇒ P es un máximo relativo
· H_f(P) < 0 ⇒ P es un punto de silla

video ejercicio 1

Ejercicio 1

Ver Solución

Calculamos los puntos críticos

Calculamos las derivadas parciales de $f$:

Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Por tanto, igualamos a 0 las derivadas parciales para obtener un sistema de ecuaciones:

Resolvemos el sistema y obtenemos el punto crítico

Calculamos el Hessiano y aplicamos el teorema

Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto:

Por tanto, el Hessiano en dicho punto es

Con lo que, aplicando el teorema, el punto es un mínimo relativo.

Referencias:

EXTREMOS: MAXIMOS, MINIMOS, PUNTOS CRITICOS, DE INFLEXION: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: CALCULO DIFERENCIAL: UNIVERSIDAD (matesfacil.com)