CALCULO MULTIVARIABLE: COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS

¿Qué son las coordenadas cilíndricas?

Las coordenadas cilíndricas son definidas como un sistema de coordenadas tridimensional alterno al sistema cartesiano. Las coordenadas cilíndricas son escritas en la forma (r, θ, z), en donde, r representa a la distancia desde el origen hasta el punto en el plano xy, θ representa al ángulo formado con respecto al eje x y z es el componente z, el cual es el mismo que en coordenadas cartesianas.

Ejemplos de coordenadas cilíndricas

Para ubicar a un punto en las coordenadas cilíndricas, empezamos ubicándolo en el plano xy al medir la distancia desde el origen y medir el ángulo desde el eje x. Luego, añadimos el componente z. En la siguiente gráfica, podemos mirar al punto $(3, \frac{\pi}{3}, 4)$ .

Una característica de las coordenadas cilíndricas es que podemos describir a un punto usando varias coordenadas. Es decir, existe un número infinito de coordenadas para cada punto. Esto se debe a que el ángulo θ puede ser escrito de formas diferentes. Si es que sumamos o restamos 2π, obtenemos un ángulo equivalente. Por ejemplo, los ángulos $\frac{\pi}{2}$ , $\frac{5\pi}{2}$ y $-\frac{3\pi}{2}$ son los mismos.

Fórmulas de conversión de cilíndricas a cartesianas

Usamos el siguiente diagrama para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas:

coordenadas cilíndricas y coordenadas cartesianas

Podemos mirar que la coordenada z es la misma en ambos sistemas. Entonces, sólo tenemos que encontrar los valores de x y y en términos de r y θ. Podemos usar la función coseno para encontrar al componente x y la función seno para encontrar al componente y. Entonces, tenemos:

$x=r~\cos(\theta)$

$y=r~\sin(\theta)$

$z=z$

EJERCICIO 1

Si es que tenemos las coordenadas cilíndricas $(3, \frac{\pi}{4}, 4)$ , ¿cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?

Podemos reconocer los valores $r=3, ~\theta=\frac{\pi}{4}$ . Usamos a las fórmulas vistas arriba junto con estos valores:

$x=3 \cos(\frac{\pi}{4})$

$x=2.1$

$y=3 \sin(\frac{\pi}{4})$

$y=2.1$

Las coordenadas cartesianas son (2.1, 2.1, 4).

Fórmulas de conversión de cartesianas a cilíndricas

Para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas cartesianas a cilíndricas, vamos a usar el mismo diagrama:
El valor de r es encontrado usando el teorema de Pitágoras con los componentes x y y. Entonces, tenemos:
${{r}^2}={{x}^2}+{{y}^2}$
$r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$

El ángulo θ puede ser encontrado usando la tangente inversa. Sabemos que la tangente es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. En el diagrama, vemos que el lado opuesto es y y el lado adyacente es x. Entonces, tenemos:
$\theta={{\tan}^{-1}(\frac{y}{x})$

EJERCICIO 1

El punto (4, 6, 7) está en coordenadas cartesianas. ¿Cuál es su equivalente en coordenadas cilíndricas?

Tenemos los valores $x=4,~y=6$ . Podemos encontrar a r y θ usando las fórmulas dadas arriba. Entonces, el valor de r es:

$r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$

$r=\sqrt{{{4}^2}+{{6}^2}}$

$r=\sqrt{16+36}$

$r=\sqrt{52}$

$r=7.2$

El ángulo θ es:

$\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$

$\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{6}{4})$

$\theta=0.98$ rad

Tanto el componente x como el componente y son positivos, por lo que el punto está en el primer cuadrante y el ángulo obtenido es el correcto.

Las coordenadas del punto son (7.2, 0.98 rad, 7).

¿Qué son las coordenadas esféricas?

Las coordenadas esféricas son un sistema de coordenadas tridimensional. Este sistema tiene la forma (ρ, θ, φ), en donde, ρ es la distancia desde el origen hasta el punto, θ es el ángulo formado con respecto al eje x y φ es el ángulo formado con respecto al eje z.

coordenadas esfericas y coordenadas cartesianas

Ejemplos de coordenadas esféricas

Para graficar a un punto que está representado en coordenadas esféricas, podemos empezar ubicándolo con respecto a su distancia desde el origen y su ángulo con respecto al eje x. Luego, lo ubicamos con respecto al ángulo que forma desde el eje z. El siguiente diagrama representa al punto $(3, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4})$ .

grafica de un punto en coordenadas esfericas

Podemos ver que, el ángulo φ es medido desde el eje z positivo. Este ángulo va desde 0 hasta π. Por otra parte, el ángulo θ no tiene ninguna restricción. Esto significa que en realidad, tenemos varias formas de representar a un punto en coordenadas esféricas. Esto se debe a que, si es que sumamos o restamos 2π o un múltiplo de 2π, obtenemos un ángulo equivalente. Por ejemplo, los ángulos $\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ son equivalentes.

Fórmulas de conversión de esféricas a cartesianas

Usemos el siguiente diagrama para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas:

coordenadas esfericas y coordenadas cartesianas

Podemos usar triángulos rectángulos y trigonometría para obtener ecuaciones para ρ, θ, φ en términos de x, y, z. La derivación de estas ecuaciones resulta más fácil si es que empezamos transformando de coordenadas esféricas a cilíndricas y luego, de coordenadas cilíndricas a cartesianas. Entonces, usamos el siguiente diagrama:

diagrma de coordenadas esfericas y cartesianas

Podemos encontrar a r y z usando la función seno y coseno respectivamente:

$z=\rho \cos(\phi)$

$r=\rho \sin(\phi)$

El tercer componente aquí es $\theta$ . Ahora, usamos las fórmulas de transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas:

$x=r~\cos(\theta)$

$y=r~\sin(\theta)$

$z=z~~~~~$

Si es que usamos estos dos conjuntos de ecuaciones, tenemos:

$x=\rho \sin(\phi)\cos(\theta)$

$y=\rho \sin(\phi)\sin(\theta)$

$z=\rho \cos(\phi)~~$

EJERCICIO 1

Si es que tenemos las coordenadas esféricas $(3, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{4})$ , ¿cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?

Podemos observar los valores $\rho=3,~\theta=\frac{2\pi}{3},~\phi=\frac{\pi}{4}$ . Usamos los valores junto con las fórmulas vistas arriba para encontrar el valor de x:

$x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)$

$x=3~\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{2\pi}{3})$

$x=-1.06$

El valor de y es:

$y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)$

$y=3~\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{2\pi}{3})$

$y=1.84$

El valor de z es:

$z=\rho~\cos(\phi)$

$z=3~\cos(\frac{\pi}{4})$

$z=2.12$

Las coordenadas cartesianas del punto son (-1.06, 1.84, 2.12).

Fórmulas de conversión de cartesianas a esféricas

Para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, usamos el mismo diagrama:

El componente ρ puede ser encontrado en términos de x, y, z usando el teorema de Pitágoras en tres dimensiones. Entonces, tenemos:

${{\rho}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

$\rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$

El ángulo θ es encontrado usando el mismo proceso de coordenadas cilíndricas. Usamos a la tangente inversa, en donde, y es el lado opuesto del ángulo y x es el lado adyacente. Entonces, tenemos:

$\theta={{\tan}^{-1}(\frac{y}{x})$

Para encontrar al ángulo φ, podemos usar la función coseno. Vemos que el lado adyacente a este ángulo es el lado z y la hipotenusa es igual a ρ. Entonces, tenemos:

$\phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$