CALCULO MULTIVARIABLE: Longitud de una curva definida en forma paramétrica.

miércoles, 2 de febrero de 2022

Longitud de una curva definida en forma paramétrica.

¿Qué es la longitud de arco?

Usualmente medimos la longitud con una línea recta, pero las curvas también tienen longitud. Un ejemplo familiar es la circunferencia de un círculo de radio rr, cuya longitud es 2πr2, pi, r.

En general, le llamamos a la longitud de una curva "longitud de arco".

Echemos un vistazo a la parábola definida por la siguiente ecuación:

y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared

Considera la porción de la curva que está entre x, equals, minus, 2 y x, equals, 2.

Pregunta : ¿Cuál es la longitud de arco de esta curva?

Solo para que quede clara la pregunta, imagina que la curva es un pedazo de cuerda, y que la estiras y mides su longitud con una regla.

Longitud de una curva definida en forma paramétrica.

Si una curva suave C está dada por $x=f(t)$ y $y=g(t)$ y $C$ no se corta a sí misma en el intervalo $a \le t \le b$ (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de $C$ en ese intervalo está dada por:

$\displaystyle S = \int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt}$

$\displaystyle S = \int_{a}^{b}{\sqrt{{\left[f^{'}(t)\right]}^{2} + {\left[g^{'}(t)\right]}^{2}}dt}$

Ejercicio

Problema 1. Hallar la longitud de arco mediante las ecuaciones paramétricas:

$x = 6t^2$ y $y = 2t^3$ para $1 \le t \le 4$

Solución. Para poder utilizar la fórmula de la longitud de arco, primero se va derivando la ecuación paramétrica $x$ con respecto a $t$ , se tiene lo siguiente

$x = 6t^2$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (6t^2)$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = 12t$

Se aplica el paso anterior para la ecuación paramétrica $y$

$y = 2t^3$

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (2t^3)$

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = 6t^2$

Después, del intervalo $1 \le t \le 4$ , los límites inferior y superior de la integral proveniente de la fórmula de la longitud de arco son

$a=1$ y $b=4$

Con estos cuatro datos, se realiza la sustitución

$\displaystyle S = \int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \ dt}$

$\displaystyle S = \int_{0}^{1}{\sqrt{\left(12t \right)^2 + \left(6t^2 \right)^2} \ dt}$

$\displaystyle S = \int_{1}^{4}{\sqrt{144t^2 + 36t^4} \ dt} = \int_{1}^{4}{\sqrt{36t^2(4 + t^2)} \ dt}$

$\displaystyle S = 6 \int_{1}^{4}{t\sqrt{4 + t^2} \ dt} = 6 \int_{1}^{4}{t\sqrt{t^2 + 4} \ dt}$

Esta integral se resuelve por medio de la sustitución. Así que

\displaystyle u = t^2

\displaystyle \frac{du}{dt} = 2t

Aplicando la sustitución, se tiene que

$\displaystyle S = 6 \int_{1}^{4}{t\sqrt{t^2 + 4} \ dt} = 6 \int_{1}^{4}{\sqrt{t^2 + 4} \ t \ dt}$

$\displaystyle S = 6 \int_{1}^{4}{\sqrt{u + 4} \ \frac{du}{2}}$

$\displaystyle S = \frac{6}{2} \int_{1}^{4}{\sqrt{u + 4} \ du} = 3 \int_{1}^{4}{\sqrt{u + 4} \ du}$

$\displaystyle S = 3 \cdot \left. \frac{2}{3} {(u+4)}^{3/2} \right]_{1}^{4} = \left. 2 {(t^2+4)}^{3/2} \right]_{1}^{4}$

$\displaystyle S = 2 \left[ {(4)^2+4}^{3/2} - {(1)^2+4}^{3/2} \right]$

$\displaystyle S = 2 \left[ {(16+4)}^{3/2} - {(1+4)}^{3/2} \right]$

VIDEO

REFERENCIAS:

Longitud de arco en forma paramétrica. Cálculo vectorial. – Temas de cálculo (temasdecalculo.com)

Longitud de arco de una función, mediante integral definida (Ejemplo 1) - YouTube

📐 Longitud de Arco de una Curva en Forma Paramétrica | Video 1 - YouTube

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