Cálculo de áreas en coordenadas polares

Muchas gráficas en coordenadas polares reciben nombres especiales.

Espiral

La característica de la espiral de Arquímedes es que entre dos espiras, la distancia es la misma, la expansión y la rotación tienen lugar a la misma velocidad, el vínculo entre ellas es lineal

Su ecuación expresada en coordenadas polares es ${\color{Red} \gamma =\alpha \cdot \Theta }$ .

Cardioide

Una cardioide se genera por una circunferencia que rueda.

Se llama cardioide a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a(1+cos θ), por su semejanza con el dibujo de un corazón.

Limacones

Las cardioides son casos especiales de curvas polares conocidas como limacones:

La forma de una limacón depende de las magnitudes de a y b. Supondremos que a>0 y b>0. Para 0<a/b<1 obtenemos una limacón con un lazo interior como se ilustra en la FIGURA a). Cuando a=b o equivalentemente a/b=1 obtenemos una cardioide. Para 1<a/b<2 encontramos una limacón con un orificio como se muestra en la figura b). Para a/b≥2 la curva se llama limacón convexa.

Curva de las Rosas

Se le denomina curva de las rosas ya que las curvas se asemejan más al pétalo de una margarita.

Cabe mencionar que el número de pétalos o lazos de la curva es:

n cuando n es impar,
2n cuando n es par.

EJEMPLO:

A continuación se muestra la gráfica de r = 3sen(2θ).

Cuando θ = 0 tenemos r = 3sen(2(0)) = 0. El siguiente valor para el cual r = 0 es θ = π/2. Esto se puede ver resolviendo la ecuación 3sen(2θ) = 0 para θ. Por lo tanto, los valores θ = 0 a θ = π/2 trazan el primer pétalo de la rosa. Para encontrar el área dentro de este pétalo, use la ecuación dada en el Teorema 8.4.1 con f (θ) = 3sen(2θ), α = 0 y β = π/2: