Integrales dobles iteradas

Una integral iterada es una integral evaluada varias veces sobre la misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluadas con respecto a diferentes variables).
Las integrales dobles son una manera de integrar sobre una región bidimensional. Entre otras cosas, nos permiten calcular el volumen bajo una superficie.
 
Dada una función de dos variables, f(x, y), puedes encontrar el volumen entre la gráfica y una región rectangular del plano x y al tomar la integral de una integral esta es la función de y.

 integral doble

El cálculo de una integral múltiple (en varias variables) se reduce a ir calculando integrales de una variable en el orden especificado. 

El diferencial nos informa acerca del el cálculo de una integral múltiple (en varias variables) se reduce a ir calculando integrales de una variable en el orden especificado.

El diferencial nos informa acerca del nombre de la variable con respecto a la que debemos integrar y su posición indica el orden de integración, correspondiendo los diferenciales más interiores a las integrales que hay que calcular primero.

Ejemplo: 1

Calcular la integral doble ∫∫xy dxdy en el rectángulo R= [0,1]x[0,2].

En primer lugar escribimos la integral que nos piden, colocando en su lugar los límites respecto a los cuales tenemos que integrar:

Resolvemos la integral que está en el paréntesis, es decir, la integral respecto de x donde y es una constante:

Por último, el resultado anterior lo integramos respecto de y.

Encontrar el área de una región acotada

Ejemplo: 2

Observa un rectángulo, de largo 4 y ancho 2, en el plano x – y .

Podemos acotar este rectángulo usando las líneas x = 2, x = 6, y = 1 e y = 3.

Encontrar esta área usando una integral doble:

La integral interna:

La integral doble ahora se convierte en esto:

videos

referencias: 

Integrales dobles | La Guía de Matemática (laguia2000.com)

Integrales dobles (artículo) | Khan Academy

https://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/

Máximos y mínimos de una función de dos variables

 Máximos y mínimos de una función de dos variables

Geométricamente: Los máximos y mínimos de una función de dos variables miden altitudes máximas y mínimas sobre la superficie que constituye la gráfica de la función (son como las cotas del punto más elevado de una colina ó del punto más profundo de una hondonada).

Los puntos críticos son aquellos en los que las derivadas parciales valen cero, o al menos una de ellas no existe.

 

Veamos un ejemplo. Tenemos que hallar los puntos críticos de la siguiente ecuación:

 

f(x,y)=xy−

 Por último, debemos resolver el sistema y hallar el (los) punto(s) crítico(s).

 

Resolviendo el sistema tenemos, a partir de la segunda ecuación:

 

x=2y

 

Sustituyendo en la primera, tenemos:

 

y=12y2

y = 0  y=1/12

El criterio de la matriz Hessiana establece que si P = (x, y) es un punto crítico y

· H_f(P) > 0 y f_xx(P) > 0 ⇒ P es un mínimo relativo
· H_f(P) > 0 y f_xx(P) < 0 ⇒ P es un máximo relativo
· H_f(P) < 0 ⇒ P es un punto de silla

video ejercicio 1

Ejercicio 1

Ver Solución

Calculamos los puntos críticos

Calculamos las derivadas parciales de $f$:

Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Por tanto, igualamos a 0 las derivadas parciales para obtener un sistema de ecuaciones:

Resolvemos el sistema y obtenemos el punto crítico

Calculamos el Hessiano y aplicamos el teorema

Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto:

Por tanto, el Hessiano en dicho punto es

Con lo que, aplicando el teorema, el punto es un mínimo relativo.

Referencias:

EXTREMOS: MAXIMOS, MINIMOS, PUNTOS CRITICOS, DE INFLEXION: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: CALCULO DIFERENCIAL: UNIVERSIDAD (matesfacil.com)